Espérance de gain : prix, probabilité et coûts

Ce que calcule l’espérance

Pour n parts achetées à un prix c, avec une probabilité supposée p et des coûts fixes totaux F, ton résultat net espéré est n × (p − c) − F. Cette valeur n’est pas le gain que tu toucheras sur cette position ; c’est la moyenne des gains et des pertes pondérée par la probabilité que tu as choisie.

Cette moyenne n’a de sens que si la résolution reste ordinaire. À la résolution binaire ordinaire, le jeton gagnant est échangeable contre 1 USD et le jeton perdant ne verse rien. Chaque marché précise ses règles, sa source de résolution et sa date de fin au-delà du simple titre. Le calculateur d’espérance t’aide à poser ces hypothèses, pas à les valider.

L’exemple de 100 parts

Prends 100 parts à 0,40 $, avec une probabilité supposée de 60 % et 2 $ de coûts fixes. La dépense totale est de 42 $ (100 × 0,40 + 2). Si l’hypothèse de 60 % se réalise, le gain net est de 58 $ (100 × (1 − 0,40) − 2). Si elle ne se réalise pas, la perte nette est de −42 $ (−100 × 0,40 − 2).

L’espérance de 18 $ est la moyenne entre ces deux issues sous l’hypothèse p = 60 % : 100 × (0,60 − 0,40) − 2. Elle ne décrit pas ce qui va arriver sur cette position précise. Les deux résultats réalisables sont incompatibles : tu obtiendras l’un ou l’autre, pas 18 $.

Les coûts déplacent le seuil de rentabilité

Le seuil de rentabilité est la probabilité à laquelle l’espérance devient nulle : p = c + F/n. Dans l’exemple, cela donne p = 0,40 + 2/100 = 42 %. Autrement dit, il faut que ta probabilité supposée dépasse 42 % pour que l’espérance soit positive. Les coûts fixes ne changent pas le prix affiché du contrat, mais ils rendent le seuil plus exigeant.

Ces 2 $ sont une valeur illustrative, pas un barème de frais réel. Certains marchés appliquent des frais de preneur dont les paramètres dépendent du marché, et les intermédiaires peuvent facturer séparément. Consulte les paramètres de frais du marché concerné plutôt que de supposer que chaque transaction est gratuite ou que les coûts sont nuls.

Un rendement brut avant coûts n’est pas un rendement net. Des variations de prix d’exécution, des frais variables ou un règlement contesté ou non ordinaire sortent du cadre simplifié de ce calcul. Pour replacer cette moyenne dans un contexte plus large, tu peux revenir aux marchés prédictifs ou comparer la qualité de tes probabilités avec le calculateur de Brier.

Ce que le seuil ne dit pas

Le seuil de 42 % ne garantit pas que le marché a une chance sur deux, ni que ta propre estimation est correcte. p reste une hypothèse subjective. Si p tombe à 42 %, l’espérance de l’exemple vaut 0 $ : c’est le point où ton avantage apparent disparaît. Une estimation trop optimiste peut effacer la marge, même si l’issue favorable se produit parfois.

Cela suppose aussi une résolution ordinaire, avec un jeton gagnant à 1 USD et un perdant à 0. Les règles du marché déterminent la résolution au-delà du titre, et les cas ambigus peuvent suivre une procédure propre au marché. Ne traite donc pas l’espérance comme une prévision certaine : c’est une moyenne conditionnelle à tes hypothèses de probabilité, de coûts et de règlement.