Elo et probabilités de séries BO3 et BO5

Convertir un écart Elo en probabilité de carte

Un classement Elo donne à chaque équipe un nombre. L'écart entre 2 nombres sert à estimer une probabilité de victoire sur une carte. La transformation logistique utilisée ici est p = 1 / (1 + 10^((R_B - R_A)/400)). Quand les 2 ratings sont égaux, l'écart vaut 0 et p = 0,5. Un écart de 100 points en faveur de l'équipe A donne p = 0,6400649998, soit environ 64,0 % arrondi. Cette formule est un choix illustratif : ce n'est ni un classement officiel de Valve ou de Riot, ni une prévision validée. Si tu veux savoir ce qu'une compétition applique réellement, consulte son règlement en vigueur plutôt qu'un modèle générique.

La probabilité obtenue décrit une carte isolée. Elle ne dit rien de la série tant que tu n'as pas fixé le format et supposé quelque chose sur la dépendance entre cartes. L'hypothèse la plus simple est IID, pour indépendantes et identiquement distribuées : chaque carte a la même probabilité p et le résultat d'une carte n'influence pas les suivantes. En esport, cette hypothèse est souvent fausse, mais elle donne un point de départ calculable avant d'ajouter de la structure.

Formules BO3 et BO5 en hypothèse IID

Si chaque carte se gagne avec probabilité p et que les cartes sont IID, gagner un BO3 revient à gagner au moins 2 cartes sur 3. La probabilité vaut P(BO3) = 3p² - 2p³. Avec p = 0,6 : 3 × 0,36 = 1,08, 2 × 0,216 = 0,432, donc 1,08 - 0,432 = 0,648. Pour un BO5, il faut au moins 3 cartes sur 5 : P(BO5) = 10p³ - 15p⁴ + 6p⁵. Avec p = 0,6 : 10 × 0,216 = 2,16, 15 × 0,1296 = 1,944, 6 × 0,07776 = 0,46656, donc 2,16 - 1,944 + 0,46656 = 0,68256.

L'effet d'amplification est net. À 60 % par carte, le BO3 monte à 64,8 % et le BO5 à 68,256 %. La série longue avantage l'équipe favorite tant que la probabilité par carte reste stable. Si le favori domine sur ses propres choix de carte mais souffre sur la carte imposée par l'adversaire, cette stabilité tombe et l'amplification ne se produit plus de la même façon.

Exemple illustratif : BO3 à cartes hétérogènes

Prenons un BO3 où les cartes n'ont pas la même probabilité. Carte 1 à 0,7, carte 2 à 0,4, carte 3 à 0,5. Ces valeurs sont illustratives, pas mesurées. Gagner la série signifie gagner au moins 2 cartes. Le scénario gagne 1 et 2 mais perd 3 vaut 0,7 × 0,4 × (1 - 0,5) = 0,14. Gagne 1 et 3 mais perd 2 : 0,7 × (1 - 0,4) × 0,5 = 0,21. Gagne 2 et 3 mais perd 1 : (1 - 0,7) × 0,4 × 0,5 = 0,06. Gagne les 3 : 0,7 × 0,4 × 0,5 = 0,14. Le total est 0,14 + 0,21 + 0,06 + 0,14 = 0,55.

La moyenne arithmétique des 3 probabilités est 0,5333333. La formule IID appliquée à cette moyenne donnerait un autre résultat que 0,55. L'écart vient de la répartition : une carte très favorable et une carte très défavorable ne se compensent pas comme une probabilité constante. Une carte gagnée à 70 % et une carte perdue à 60 % ne forment pas un ensemble équivalent à 2 cartes à 55 %.

Choisir un format de décision

Le tableau ci-dessous résume ce que ton modèle doit intégrer selon le format. Utilise-le pour décider quelle structure adopter avant de calculer, pas pour classer des équipes.

Limites et cas perdants

3 limites sont structurelles. Le choix de carte est conditionnel : dans beaucoup de formats, les équipes bannissent ou choisissent, donc la probabilité dépend de la carte effectivement jouée. Les résultats de carte peuvent être corrélés : une équipe menée peut changer de stratégie et modifier les cartes suivantes, ce qui casse l'indépendance IID. Enfin, la force réelle est inconnue : un rating Elo est une estimation, pas une mesure directe, et il devient obsolète après un changement de roster.

Un cas perdant concret : tu estimes une carte à 55 % et un BO3 IID à 0,57475, tu paries sans vérifier le choix de carte. Si la carte réellement jouée est celle où ton équipe est à 40 %, la probabilité de série recalculée tombe. Tu as surestimé ta position en appliquant une moyenne qui ne correspond à aucune carte du format. C'est l'erreur typique que l'exemple hétérogène met en évidence.

Autre piège : confondre probabilité de carte et probabilité de série. Une équipe donnée à 55 % sur une carte n'est pas à 55 % sur un BO3, et une série BO5 n'a pas la même probabilité qu'une BO3 pour la même carte. Ne compare jamais 2 estimations de formats différents sans les avoir recalculées.

Vérifier le règlement avant d'appliquer le modèle

Le format réel d'une compétition change la probabilité : BO1, BO3, BO5, ordre des choix de carte, avantage de côté. La bibliothèque des opérations compétitives de Riot publie les règlements et leurs mises à jour. Utilise le règlement de l'événement concerné, pas une procédure générique inventée. La page consultée est un index de bibliothèque : elle ne prouve ni un patch précis, ni un pool de cartes, ni un taux de victoire, ni un effectif donné.

Une fois le format fixé, replace la méthode dans son usage : pour confronter tes probabilités aux prix pratiqués, lis [le guide des cotes esport](#odds). Pour mesurer la robustesse de tes estimations passées et détecter si ton modèle battait vraiment le hasard, applique [la méthode de backtest](#backtest). Et pour situer ces questions dans le secteur, vois [le guide esport](#esports).

Un protocole illustratif en 5 étapes

Ce protocole est une illustration méthodologique, pas une étude empirique ni un résultat validé. Étape 1 : fixe le format exact et les règles de choix de carte. Étape 2 : estime une probabilité par carte concernée, avec une fourchette d'incertitude, au lieu d'une moyenne unique. Étape 3 : calcule la probabilité de série par énumération des scénarios, comme dans l'exemple hétérogène. Étape 4 : compare-la à la probabilité implicite du marché si elle existe, sans supposer que le marché a tort. Étape 5 : décide selon l'écart et ta tolérance au risque, puis note par écrit ce qui invaliderait ta décision.

Un écart positif entre ton estimation et le marché n'est pas une raison d'agir à lui seul. Il peut venir d'une information que tu ignores, d'un changement de roster, d'une erreur de calcul ou d'une différence de format. La décision utile est celle qui identifie la source de l'écart et accepte qu'elle puisse disparaître.